分数の割り算の計算方法〜どうして分子と分母を入れ替えて掛け算する?

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「分数の割り算は、上下を入れ替えて、掛け算にする」

この計算方法は小学校で習います。

その時に、「どうして入れ替えるのだろう」と疑問に思うこともあったかもしれませんが、「そういうものだから」と覚えてしまった経験があると思います。

しかし、この何故を考えてみると意外と説明ができないものです。この何故を解決する二通りの方法をご紹介します。

分数は割り算である!

まず念頭におくことは、分数はもともとは割り算からきているということです。

簡単な分数で考えてみると

1÷5 = 1/5

と割られる数が分子、割る数が分母にきます。

分数の線(括線(かっせん)といいます)の下に割る数がいくことから、「悪者(割る数)は下に落ちる」などという覚え方もあったりします。

この覚え方をしていると、中1の時の一次方程式で意外な活躍をしてくれるかもしれません。と、話が少し脱線したので、元に戻します。

分数を分数で割るということ

例えば、2/5 ÷ 1/3 という計算をするとします。

2/5 ÷ 1/3 ですので、割る数の1/3が下へ落ちます。つまり、1/3が分母にいき、2/5は分子です。

2/5 / 1/3

と分数の中に分数が入ってくる形になります。このような分数を「繁分数」と呼びます。この繁分数を直していきます。

分数の性質

分数には分母・分子に同じ数を掛けても分数の大きさは変わらないという性質があります。また、分母が1になれば、分子がそのまま答えになります。

分母を1にするためには、分母の逆数をかけてあげれば良い、つまり

『1/3 × ? = 1』

の?を求めると 3/1 になります。

実際に分数の割り算を計算してみる

では、今までの例をまとめて2/5 ÷ 1/3のの掲載をしてみます。

まずは2/5 ÷ 1/3を繁分数に直します。

分数の性質を利用して分子を1にします。

いかかでしょうか?

2/5 ÷ 1/3 = 2/5 × 3/1

であることが示されました。

割り算の法則を考えてみよう。

1の解法がしっくりこない…という方もまだいると思います。他の手法もありますが、これはある種結果ありきな解法ですので参考までにご覧下さい。

では、割り算の法則というものを考えてみましょう。

10÷2 = 5

10個のものを2つに分けたら、1つあたりは何個ですか?という問題で、これが5になることは良いかと思います。

割り算の法則

割り算の法則として割る数と割られる数に、どちらも同じ数を掛けても答えは変わらないというものがあります。

10÷2 = 5
20÷4 = 5
30÷6 = 5

といった形です。

では、元の式の

2/5 ÷ 1/3

の割られる数、割る数に同じ数を掛けてみて、式を簡単にできないのでしょうか。もちろんここで3を掛けてしまえば、2/5 ÷ 1 で先ほどの繁分数の計算と同じになりますので、敢えて最小公倍数の15を掛けてみます。

2/5 × 15 = 6
1/3 × 15 = 5

したがって、

2/5 ÷ 1/3 = 6 ÷ 5

となります。となれば、答えは

6÷5= 6/5

と求めることができます。

文字式的な証明にすると

a/b ÷ c/d
=(a/b × bd) ÷ (c/d × bd)
=ad ÷ bc
=ad/bc

となり、結果的に割る数の分母と分子が逆転していることになります。

と、何故を考えていくと意外と難しいのがこの分数の割り算です。

そして、この何故を抱き、説明を聞いて「なるほどー」となる子は数学的思考力が非常に高い子だと思います。つまり、算数が苦手な子ほど「覚える」方向に走ってしまい、「意味わからない」と算数を嫌いになってしまうのです。

分数とはそもそも何なのか

英語での分数の読み方は 「3/4 = Three divided by four(スリー・ディバイデッド・バイ・フォー)」であり、これを再翻訳すると

3を4で分ける、つまり、3 ÷ 4 (3割る4)、です。

日本語で考えてしまうと4分の3 と 3割る4 は一致しにくいものがあると思います。もしかすると、これも分数嫌いな子供が生まれてしまう一因なのかもしれません。

分数は割り算の形を変えたもの

であることを忘れないようにしましょう。

数式には理由が必ずあります。その理由を全て理解できてしまえば、数学における公式は覚える必要がありません。ただ、その理由が全て理解できる人は、公式を覚えているというの事実です。

理解することこそが本当の意味で身に付けたということなのかもしれませんが、「覚えて、使えるようにしてしまう」というのも1つの方法です!

理由が分からないけれど覚える、これが中学・高校と進んでいくうちに「導けた」となると、算数・数学が面白くなってくるのではないでしょうか?

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