最頻値の求め方と中央値、平均値との違いと比較

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今回は、中学数学の中で、いくつかのデータを整理・分析する作業について学習します。

具体的には、最頻値という分野を学ぶことによって、これとの関連分野である平均値中央値との比較を学びます。

ここではこのようないくつかの定義をしっかりと理解した上で、このような値を利用することによってデータをどのように分析することができるのか、そして、それぞれの値の利用方法の長所・短所を考えることを通して、より理解を深めましょう。

最頻値とは

最頻値とは、与えられたデータの中で最も頻度が高い数字のことを言います。

この最頻度のことをモードと言うこともあります。また、相対度数分布表との関連では、最も度数の大きい階級における階級値のことを最頻値と表現することもあります。

最頻値の求め方

では、例題を使って最頻値を求めてみましょう。

【問題1】

クラスの7人の数学の点数が以下のようであるとき、最頻値を求めなさい。

50点、45点、70点、70点、45点、45点、90点

【解法】

このような問題が出題された場合、得点ごとに人数を整理することからはじめましょう。つまり、

45点 ⇒ 3人
50点 ⇒ 1人
70点 ⇒ 2人
90点 ⇒ 1人

というように整理することができます。そして、この中で一番人数が多いのは、45点ということがわかります。したがって、最頻値は「45」ということになります。

この場合に、最も多い人数である3人が答えではないことに注意しましょう。

相対度数表を用いた最頻値の求め方

階級(点数) 度数(人数) 相対度数
0~20 0.05
20~40 0.1
40~60 0.2
60~80 0.4
80~100 0.25
合計 20

このような相対度数分布表が与えられた場合に、その最頻値を問われることがあります。その場合には、どの階級における人数が一番多いのか、という観点から処理することで解答を導くことができます。

つまり、度数という言葉が、各階級における分布人数であることさえわかっていれば、図より60~80の階級に、一番人数が分布していることがわかります。

そして、60~80の階級における階級値は70であることから、本問における最頻値は「70」ということが導かれます。

中央値、平均値との比較

ここで、最頻値と関連して出題される平均値・中央値との違いを整理しておきましょう。上にみたように、最頻値とは、最も出現する頻度が高いものを指します。

平均値とは、全体のデータを総和したものをデータ数で割ったものを指します。中央値とは、真ん中に位置する数字を指します。

つまり、いずれの数字も、与えられたデータの中の「中間的」なものに注目しようとする概念であることで共通しています。

このようにどうようの目的意識を持つ概念でありながら、同じケースについてこれを利用した時に、だいぶと違いが生じます。

最頻値、中央値、平均値の違い

【問題2】

クラス5人の数学の点数が以下の場合のとき、平均値、中央値、最頻値をそれぞれ求めなさい。

20点、20点、30点、40点、100点

復習を兼ねてそれぞれを求めてみましょう。

最頻値の求め方

まず、最頻値について。本問では、20点を獲得した人が2人、他の点数は全て1人であることが読み取れます。したがって、【最頻値は20】ということになります。

中央値の求め方

次に、中央値について。上の5つのデータは大きさ順にならんでいます。そして、データの数は全部で5つであることから、中央値としては小さい方から三番目(大きい方から三番目)の数字ということになります。したがって、【中央値は30】ということになります。

平均値の求め方

最後に、平均値について。本問の点数について平均値を求めるには、次の式をとくことになります。つまり、

(20+20+30+40+100)÷5
=210÷5
=42

ということになります。つまり、【平均値は42】です。

本問の分布を観察した時に、1人だけが随分良い点数をとっていて、他の4人は比較的同じような点数を取得していることがわかりますね。

このように、分布の仕方がなだらかではないようなデータが与えられた時に、本問のように最頻値・中央値・平均値の値は随分異なってしまいます。

もっとも、だからといってどれが正しくてどれが誤っているという訳ではありません。それぞれの値が注目するものが異なるのですから、値が異なるのはむしろ当然のことです。

さいごに

「最頻値を習って、最頻値だけを求める」だけならば、比較的多くの学生が簡単に解答を導くことができます。しかし、以上のように、最頻値という分野はどうしても他の分野と関連して出題されざるを得ない分野でもあります。

したがって、混乱して他と混同しないように注意しましょう。決して難しい内容が問われるわけではないので、やり方さえ確実に覚えておけば、得点源には適した分野であると言えます。

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