比例と反比例はこれで完璧!グラフと式の読み解き方!

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比例・反比例については、小学生でも学習することから、事前の知識をしっかりと有していると考えられますので、いきなり躓いてしまうという事態は想定しにくいでしょう。

もっとも、中学の数学では、小学生で学習した内容を方程式に結び付けて理解する必要があります。その結果、内容としては簡単なはずなのに、方程式という「いかめつい」外観に気圧されてしまって、問題を解けなくなってしまうという状況におちいってしまう生徒がいるのもまた事実です。

さらに言えば、小学生でこれらを学習する際には、必然的に正の数に限定した学習がなされていましたが、中学の数学では当然正負の両方について比例・反比例を考える必要がありますし、特に比例について言えば、この理解を前提にして、一次関数の理解を深めることが求められます。

そこで、中学数学で比例・反比例について学習するときには、方程式を処理しなければならない、というように自分で壁を作ってしまうのではなく、小学生の間に学習した内容をしっかりと踏まえながら問題をしっかりと読解する必要があります。

そのような読解をする力を身に付けることができれば、一見難しそうな方程式が与えられたとしても、自分で解決する力を身に付けることができているでしょう。

比例とは

小学生で学習する比例についての理解は、簡単に言うと以下の2点です。

比例の定義

  1. 一方の数を2倍、3倍としていったとき、他方の数も同じように2倍、3倍と変化する関係にあるとき、この二つの数を比例の関係にある、という言い方をします。
  2. 二つの量の対応する値の商は、どこをとっても一定の関係にある。

表から読み取るxとyの関係

例えば、以下の表について考えてみましょう。これはxとyの関係について表したものですが、xとyについてどのような関係を読み取ることができるでしょうか。

x
y 10 20 30 40 50 60

両方の数が等倍で増えている

まず、xが1のとき、yは10であることは素直に読み取ることができるでしょう。このxの値を2倍したとき、yの値も2倍の20になっています。

また、このxの値を6倍したとき、yの値も6倍の60になっています。つまり上の1で述べたように、xとyの値は、xを2倍、3倍としたときに、同じようにyも2倍、3倍となっていることから比例の関係にあるということができます。

どの値も一定の関係

また、それぞれ、例えばy÷xの値について考えてみましょう。対応するxとyの値について、y÷xをしたとき、どの値も10になることがわかるでしょうか。

これは2で述べていることで、したがって、どの商の値も10ということになりますので、比例の性質が導かれることになります。

比例のグラフ

これをグラフで表現すると以下のような形になります。

中学生であれば、この形のグラフは「一次関数」であることがすぐにわかるのではないでしょうか。つまり、比例の式とは、原点を通る一次関数を表現することになるのです。

ここで、原点を通る、という点がポイントです。そうでなければ、対応するxとyの値を、常に同じ倍数によって表現することができなくなるからです。

比例の方程式

比例の方程式とは、

y=ax(aは定数)

という形で表現することができるというわけです。今回の場合には、2について検討したように、全ての商について10であるということができるので、

y=10x

という方程式によって表すことができるのです。

比例定数とは

また、この一次関数の傾き(a)にあたる部分が、さきほどのyをxで割った商であることがわかりますね。

この傾き(a)、あるいは商(y÷x)のことを、「比例定数」と言います。言葉だけの問題ですが、一応頭には入れておきましょう。

比例の問題例

まずは簡単な問題で比例についての理解を確認してみましょう。

【問題1】

x=2、y=6で、xとyは比例の関係にあるとき、x=5のときのyの値を求めなさい。

解法のポイント

問題文に書かれていることをそのまま数式にしてみましょう。

まずは、xとyが比例しているということですので、

y=ax

という式をいきなりおいてしまいましょう。比例の場合にこの方程式が成り立つことは上で説明した通りです。そして、問題文の条件をそのまま代入します。x=2、y=6ということですから、

6=2a
a=3

ということから、この比例定数(あるいは一次関数の傾き)が3であることがわかります。つまり、この問題における比例式は、

y=3x

であることがわかります。

本問の答え

今回は、x=5のときのyの値を求めたいのですから、これをまた代入すれば良いのです。つまり、

y=3×5
y=15

ポイントが比例定数を求めることができるか、という点であるのは間違いないのですが、それよりも大切なことはy=axという一般式を置くことからはじめることができるか、という点です。

これさえできれば、比例定数を導くことはないと思われますので、入り口が大切ということになります。

では、別のバリエーションを考えてみましょう。

【問題2】

xとyが比例定数3の条件で比例の関係にある。今、xの変域について、-2<x≦3と定められているとき、yの範囲を求めなさい。

解法の手順は問題1と同じ

このように、比例の問題では、不等式とリンクさせた問題が出題されることがあります。しかし、比例の関係にあるという性質をしっかりとわかっていれば問題なく解けるでしょう。

本問でも、xとyが比例の関係にあることから、まずは一般式をおいてみます。

y=ax(aは定数)

そして、問題文より、比例定数が3であることから、この一般式は、

y=3x

という形に変形することができます。

本問の答え

比例については、xが大きくなればyは大きくなる(比例定数が正の場合に限りますが。)という性質があるのですから、xの変域に対応したyの範囲を求めるには、

x=-2のとき、y=3×(-2)=-6
x=3のとき、y=3×3=9

ですので、yの範囲は、

-6<y≦9

ということになります。

このように、比例の問題の場合、基本的にyの範囲を求めるには、xの範囲の両側の値をそのまま使うことで答えにすることができるのです。こ

れを視覚的に把握したい場合には、一次関数のグラフを書いて、変域について図示してみると良いでしょう。理解を深めるためにも、一度自分でグラフを書いてみることをおすすめします。

反比例とは

比例のように一筋縄ではいかないのが反比例です。

もっとも、反比例については、比例のようなわかり易い関数とリンクさせることができないという性質上、応用問題が出されにくい、という利点があります。

つまり、比例の問題は、「比例」という性質が単純であるが故に複雑な問題が展開されやすいのに対して、反比例の問題は、「反比例」という性質がやや複雑であるが故に、シンプルな問題しか出題されない傾向があるのです。

反比例については、一般的に次のような説明がされることが多いです。

「二つの量があって、一方が他方の逆数に比例している関係にあるとき、二つの量は反比例の関係にある」

というような定義がなされるのです。

もっとも、反比例の学習をする上で、このような意味のわかりにくい定義を覚える必要はありません。

反比例の場合には、反比例の一般式をいきなり覚えてしまいましょう。その方がてっとり早く問題を処理できるようになります。そして、具体例に触れながらニュアンスを定着させることで足ります。

反比例の方程式

y=a/x(aは定数)

比例の式と混同してはいけませんが、比例の一般式に似ていることから覚えやすいかとも思います。

反比例の問題が出題される場合には、このような一般式が登場することになります。もっとも、実際に問題に触れてみるとわかりますが、このような一般式をたてるまでもなく解答できる場合も多いです。

反比例のグラフ

比例のグラフを比べると、反比例のグラフのいびつさをより感じてもらえると思います。問題の種別にもよりますが、このグラフのイメージと先程の一般式だけを記憶していれば問題ありません。

反比例の問題例

【問題3】

x=4、y=5で、xyは反比例の関係にあるとき、xが10ならばyの値はどうなるか求めなさい。

非常にシンプルな問題ですが、反比例の定着を確認するために検討してみましょう。

反比例の比例定数、方程式の求め方

比例の問題と同じように、まずは一般式を置いてみます。

y=a/x(aは定数)

そして、本問におけるxyの条件をそのまま代入してみると、

5=a/4
a=20

したがって、本問における反比例の方程式は、

y=20/x

というように求めることができます。

本問の答え

xが10の場合のyを求めるには、再びこれに代入すれば良いのですから、

y=2

と求めることができます。

このように解答を導くことは簡単なのですが、ここで反比例の性質について学習しましょう。

つまり、反比例のペアにあたるxyの数を掛けたとき、その値は常に20になることがわかるでしょうか。

(x、y)について(4,5)(10、2)のように、それぞれの数字がいわば20を分け合うような形になっていることがわかるかと思います。

比例の場合には、比例定数という一定の数字を導くことができましたが、反比例の場合にも、このような軸にあたる数字が存在するということを覚えておきましょう。

比例・反比例の関係が提示されない問題

【問題4】

縦がxcm、横がycmの長方形があり、その面積が20であるとき、xとyの関係式を求めなさい。

今まで学習してきた問題では、どの場合でも「比例・反比例」の関係が問題文で明らかにされていました。

しかし、今回はどちらとも明言されていません。

反比例が関係する問題では、このように、一見「比例・反比例」の問題ではないような出題がされることもあります。このような文章題が与えられた時も、問題文から導くことのできる式を何でもいいからまずは書いてみることからはじまります。

今回求めるxとyの関係式

例えば、今回の問題であれば、「長方形の面積」が一つのポイントになりそうですね。そこで、素直に面積を求める方程式を作ってみましょう。

x×y=20

このように、問題文で与えられた情報を自然と式にするだけでよいのです。そして、xyの関係式を求めなければならないのですから、yについて整理するのが中学数学におけるマナーですので、

y=20/x

という変形ができるでしょう。

解法のポイント

この方程式は先程の【問題3】と同じ式だということに注意して下さい。つまり、長方形の縦と横の長さは、「面積」を楔にした時に、反比例の関係にあるということができるのです。

反比例の問題では、このような具体的なケースについて分析することが求められ、結果としてxyの関係が反比例であったとわかるという構造の問題が出題されることが多いです。

その際に大切なことは、他の文章問題を解く場合とひとしく、しっかりと問題で与えられた情報を素直に式にすることができるかどうか、という点です。

さいごに

グラフが先に提示されて、それを読み取って関係式を導くというパターンの問題が出題されることもあります。文章題であったりグラフの読解の問題であったり、中学数学の中ではもしかすると重荷に感じやすい出題形式かもしれません。

しかし、比例・反比例の分野に限らず、これらの出題形式に対応することは数学全般で要求されることですし、この形式に慣れることができれば、一段と数学の成績は向上するでしょう。しっかりと練習に励んで、苦手としないようにしましょう。

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