二次方程式の解き方!覚えておくべき3つの解法と勉強のポイント

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二次方程式とはxの二乗の項を含む方程式のことを言います。一般的には、

ax²+bx+c=0

という式が二次方程式であると説明されます。この範囲を学ぶにあたっては、文字式の利用に関しては、比較的慣れているかと思います。

ただし、範囲の性質上、難しさを感じること生徒が多いようです。

ただ、式は複雑に見えるかもしれませんが、解答のアプローチは、基本的に三種類しかありません。したがって、それぞれのアプローチの基本的な作業ができるようにすることを目的とすれば良いでしょう。

平方根の利用した二次方程式の解法

【問題1】
以下の二次方程式を解きなさい。

x²=4

二次方程式の一番シンプルな問題です。このように、はじめから左辺にx²だけが存在する場合には、特別な作業をする必要はありません。

この方程式を見た時に、「xを二乗すると4になるのだな。ということは、xは4の平方根というわけか。」という読解をすることができれば、

x²=4
x=±2

と、解答を導くことができるかと思います。

【問題2】
以下の二次方程式を解きなさい。

x²=3

平方根の復習が十分であれば、

x²=3
x=±√3

と、√記号も問題なく使えるでしょう。平方根を見直す良い機会です。

【問題3】
以下の二次方程式を解きなさい。

(x-1)²=3

応用問題として、定期テストで出題されうる典型例です。一見面倒そうな問題ですが、平方根の考え方を利用することによって、簡単に解答を導くことができます。

(x-1)²=3
x-1=±√3
x=1±√3

ここでは、x-1を一つの文字として捉えることがポイントです。もしわかりにくければ、以下のように、x-1=Aという別の文字に置き換えてみると良いでしょう。

(x-1)²=3
A²=3
A=±√3
x-1=±√3
x=1±√3

このように、平方根を利用する方法によって、はじめの問題を展開することなく処理することが可能となります。

因数分解による解法

二次方程式を解くための二つ目のアプローチとしては、因数分解を利用するというものがあります。この前提として、因数分解に関するいくつかの公式がありますが、これらはしっかりと反復して定着させておきましょう。

【問題4】
以下の二次方程式を解きなさい。

x(x-1)=0

この問題を解くにあたって、例えば、P×Q=0という式がある時、PとQの条件はどのようなことが考えられるか、という点についての理解が必要です。

つまり、P×Q=0となるためには、PとQの少なくともどちらかは0でなければなりません。二つの数字を掛けた時に、その積が0になるには、どちらか一方は0である必要がありますよね。

したがって、本問の場合は、左辺が既に因数分解された形になっていますので、以下のように解答することができます。

x(x-1)=0
x=0、x-1=0
x=0、x=1

【問題5】
以下の二次方程式を解きなさい。

x²-x=0

但し、必ずしも左辺がいつも整理されているとは限りません。

このような場合には、自分で左辺を因数分解することによって、積の形を作ることが要求されます。ただ、それさえクリアすれば、【問題3-1】と全く同じ処理をすることになります。

x²-x=0
x(x-1)=0
x=0、x-1=0
x=0、x=1

この他にも、因数分解には多種の公式があります。また、公式によらない形でも、積の形を作る必要がある場面もあるでしょう。そのような場合に備えて、このタイミングで因数分解の定着を確認しましょう。

解の公式による解法

上に挙げた二つの方法は、結論的なことを言うならば、いつでも採用することができるわけではありません。

左辺について因数分解をすることができないことの方がむしろ多いでしょうし、そもそも問題2のような、単純な二乗の式だけであることの方が珍しいです。

そういった緊急事態的な場合に備えて、全ての場合に通用する二次方程式の解法が存在します。もっとも、公式を正確に覚える必要があることから、反復した練習が必要となります。

【解の公式】

最後に

二次方程式に関しては、単純な計算能力だけではなく、因数分解や平方根など、それまでに習った知識をフル動員して作業する必要があります。そして、この習得のためには練習を重ねるしかありません。出来るだけ毎日、少しずつでも解く機会を増やす方べきでしょう。

また、二次方程式に関しては、自ら解答方法を選択することができるというメリットがある反面、問題によっては、アプローチが制限されることもあります。そういった取捨選択をする必要がある点で、より訓練が必要な分野であると言えるでしょう。

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