今回は、中学数学における難関分野の一つである三角形の合同条件について学習します。これが難しいとされる一番の理由は、ほとんどの場合、証明問題として出題されることが原因でしょう。
証明問題は、自分で道筋を作り上げる必要があります。この点で、単純に問題の答えを導くような計算問題よりも、難易度が高いと誤解している生徒が多いように思います。
手間がかかることも相俟って、余計にそう感じさせられるのやもしれません。
数学的な力というよりは、むしろ国語力が問われていると言っても過言ではないでしょう。
合同とは
まずは前提知識として、合同の定義について学びましょう。
二つの図形の大きさと形が全く同じとき、その二つの図形の関係を「合同」と言います。
そして、以下では三角形の合同条件、つまり、「二つの三角形について、どのような条件があれば合同と言えるのか」ということについて見ていきます。合同条件は以下の３パターンあります。
三角形の合同条件と証明
上の図の三角形を使って、３つの三角形の合同条件の説明と証明をしてみましょう。
1.三辺の長さがそれぞれ等しい
二つの三角形について、その三辺の長さがそれぞれ等しいとき、二つの三角形は合同であると言えます。
これが一つ目の合同条件です。おおよそ、以下のような答案を作ることができれば問題ないでしょう。
△ABCと△A´B´C´について、
辺AB＝辺A´B´
辺BC＝辺B´C´
辺CA＝辺C´A´
が成立している。
三角形の合同条件より、三辺の長さがそれぞれ等しい場合に二つの三角形は合同、と言えます。
したがって、△ABC≡△A´B´C´
という具合です。
２.辺とその間の角の大きさがそれぞれ等しい
二つの三角形について、二辺の長さとその間の角の大きさがそれぞれ等しいとき、二つの三角形は合同であると言えます。これが二つ目の合同条件です。
一つ目の合同条件と違って、三パターンのアプローチが考えられます。
つまり、三つ角度のいずれに注目するのか、ということです。これは出題された問題によって適切に証明できるものを選んでください。
今回は∠BACに注目して、この合同条件を利用して二つの三角形の合同を証明してみましょう。
△ABCと△A´B´C´について、
∠BAC＝∠B´A´C´
辺AB＝辺A´B´
辺AC＝辺A´C´
が成立している。
三角形の合同条件より、二辺の長さとその間の角がそれぞれ等しい場合に二つの三角形は合同、と言えます。
したがって、△ABC≡△A´B´C´
となります。他の角度に注目した場合についても練習してみて下さい。
角度についても、しっかりと対応させた表現をするようにしてください。∠BAC＝∠B´A´C´であって、∠BAC＝∠C´A´B´としては、対応関係を表現できていません。
3.１辺とその両端の角の大きさがそれぞれ等しい
二つの三角形について、一辺とその両端の角の大きさがそれぞれ等しいとき、二つの三角形は合同であると言えます。これが三つ目の合同条件です。
この場合も、どの辺について注目するかによって三パターンの証明方法があります。今回は辺BCに注目して証明してみましょう。
△ABCと△A´B´C´について、
辺BC＝辺B´C´
∠ABC＝∠A´B´C´
∠ACB＝∠A´C´B´
が成立している。
三角形の合同条件より、一辺の長さとその両端の角がそれぞれ等しい場合に、二つの三角形は合同と言えます。
したがって、△ABC≡△A´B´C´となります。
証明問題の注意点
ここで、証明問題の注意点についてですが、今回の問題のように、図形の合同を証明する場合には、どうしても辺の名称を具体的に示す必要があります。
その際には、対応関係を明確にしなければいけません。つまり、辺AB＝辺A´B´と表現すれば、位置関係を正しく表現できていますね。
しかし、辺AB＝辺B´A´と表現しては、対応関係にありません。この点は間違えないようにしましょう。
また合同記号は「≡」であることにも注意が必要です。先生によってはこの使用を許さない人もいますので、確認の上、使用しましょう。
さいごに
ここで紹介した３つの合同条件について、確実に暗記をするようにしましょう。これらについては、忘れてしまった時に自分で考えつくことはほぼ不可能に近いからです。
そして、暗記していることを前提に、これらを実際の問題で使えるようにすることが重要となります。「三角形の合同条件は何ですか？」という問題は出題されません。三角形の合同条件を使用して、与えられた問題を解かなければならないのです。
証明問題についても、しっかりと練習を重ねる必要があります。
また、図形問題であることから、今回勉強した範囲でも「同位角」について考える必要があるように、常に他の分野で学んだ知識をリンクさせてくる必要があります。
図形を見た時に、できるだけたくさんの引き出しをつかえるように知識を蓄えることに励みましょう。